Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego (Dariusz Laskowski)

Matematyka jest piękna i wyjątkowa wśród nauk. Poglądy na nią bywają różne. Wybitny Arnold zaczął kiedyś swój tekst od stwierdzenia, że matematyka jest częścią fizyki (po czym nastąpił mocno abstrakcyjny wywód o krzywych algebraicznych), z kolei genialny Hardy wznosił toast za to, żeby „nasze twierdzenia nigdy nie znalazły zastosowania”. Książka Laskowskiego nie jest głosem w tej dyskusji, choć oba poglądy mogłyby znaleźć w niej uzasadnienie. Twierdzenie Pitagorasa (a dokładniej, odwrotne do niego) było stosowane już w starożytnym Egipcie do wyznaczania kątów prostych. Za to nie umiem wyobrazić sobie żadnego pożytku z wiedzy o niewymierności liczby e - poza czystą satysfakcją estetyczną. Wymieniłem dwa spośród wielu twierdzeń omawianych w książce, a jeszcze wymienię parę, które mnie zainteresowały szczególnie:

• trysekcja kąta według Archimedesa (znałem, ale z przyjemnością sobie odświeżyłem),
• suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona (chyba najtrudniejsza rzecz w tym zbiorze),
• twierdzenie Talesa (podstawowe szkolne twierdzenie, którego dowodu nigdy nie widziałem),
• konstrukcja liczby naturalnej, po której następuje miliard liczb złożonych (zamiast miliarda może być dowolna inna liczba).

Jest również odpowiedź na pytanie, czy można z cyfr od 1 do 9 ułożyć takie liczby naturalne, by każda z cyfr została użyta dokładnie jeden raz, a suma tych liczb dała 100. Autor omawia podstawy teorii Cantora, przeliczalność zbioru liczb wymiernych i nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Swego czasu odkrycie to było szokujące. Jeden z rozdziałów poświęcony jest aksjomatyce zbioru liczb naturalnych. Dziś wydaje się to czymś - nomen omen - naturalnym, ale przez ponad dwa stulecia (czyli od Newtona) matematyka rozwijała się dziko, pozbawiona ścisłych ram znanych nam z Elementów Euklidesa. Dopiero na przełomie wieku XIX i XX pojawiło się parę paradoksów, które uświadomiły matematykom, jak wiele racji miał Euklides.